Dr. Héjjas István

ARANYMETSZÉS

Sevilla közelében folyamatban van egy 300 MW teljesítményű naperőmű telep megvalósítása, amelynek első szakaszaként már megépült a 11 megawattos Planta Solar 10 naphőerőmű blokk. Ebben 624 darab hatalmas mozgatható tükör fókuszálja a napsugarakat egy toronyra, ahol a sugárzási energia magas fajhőjű sóoldatban nyelődik el, és ez utóbbi adja át a hőenergiát a hőfejlesztő kazánnak.

A torony hőmérséklete a fogadó tükörnél akár 900 C fok is lehet, a keringetett olvadt só hőmérséklete pedig elérheti az 500 C fokot. A rendszer hőtároló kapacitása olyan nagy, hogy az erőmű naplemente után is még legalább 15 órán keresztül, vagyis gyakorlatilag folyamatos üzemben képes működni.

A rendszer kialakításánál fontos szempont volt, hogy a tükröket minél kisebb területen lehessen elhelyezni úgy, hogy ne árnyékolják egymást, vagyis hogy mindegyik tükörnek mindig közvetlen „rálátása” legyen a központi toronyra, a többi tükör elfordulási állapotától függetlenül.

Az alapos elemzés eredményeként kapott legsűrűbb elrendezésnek a természetben is gyakran előforduló logaritmikus spirális görbe bizonyult, és ehhez a napraforgóban elhelyezkedő magok elrendeződése adta az ötletet.




A logaritmikus spirális polárkoordinátás egyenlete:

r = a*eb*φ   

illetve inverz kifejezéssel:

φ = (1/b)*ln(r/a)  

ahol a és b elvileg tetszőleges konstansok.

A logaritmikus spirális fontos jellemző tulajdonsága, hogy bármelyik pontjához is húzunk érintőt, ez az érintési ponthoz tartozó sugárral mindig azonos szöget fog bezárni.

Az ilyen erőműnél pedig – az optimum számítás alapján – a spirálgörbe konstansait úgy célszerű megválasztani, hogy ez a szög 137.5 fok legyen, és ez éppen a matematikából ismert ún. „aranyszög”, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy a 360 fokos teljes körülfordulási szöget az aranymetszés aránya szerint két részre osztjuk.

Alapértelmezésben az ARANYMETSZÉS azt jelenti, hogy egy hosszúságot vagy távolságot úgy osztunk ketté, hogy a kisebb és nagyobb rész aránya éppen akkora legyen, ahogyan a nagyobbik rész aránylik az eredeti teljes mérethez.

Az aranymetszést az emberiség ősidők óta ismeri, és tudják, hogy ha rajzon, képen, szobron, épületen érvényesülnek az aranymetszés arányai, akkor ez növeli az alkotás szépségét, a látvány esztétikai értékét. Éppen ezért tartották az aranymetszés arányszámát, vagyis az ún. aranyszámot (kb. 0,618) mágikus számnak.

Számos építészeti alkotás őrzi az aranyszámot. Példaként szolgálhat az athéni Akropolisz részét képező Pantheon, amelynek homlokzatán több helyen is felismerhetők az aranymetszés arányai.

Bár rejtett módon, de az egyiptomi Kheopsz piramis is hordozza az aranyszámot.

Ha ugyanis a piramis alaplapjának közepét összekötjük az alaplap valamelyik oldal élének közepével, majd ezt a pontot összekötjük a piramis csúcsával, a két távolság aránya az aranyszámot adja.

A modern építészeti alkotások közül érdemes említeni a párizsi Eiffel tornyot, amelyen az egymás feletti szintek aránya igazodik az aranymetszés szabályához.

A festészetben is jelentős szerepet játszott az aranymetszés. Sok középkori festő a képeinek méretarányát az aranymetszésnek megfelelően választotta, és a képen szereplő alakok, fontosabb tárgyak elrendezése is sok helyen az aranymetszés arányait követi. Példa lehet erre Leonardo da Vinci több festménye, például az Utolsó Vacsora, vagy a Mona Lisa.

Az aranymetszés aránya a geometriában is megjelenik. A szabályos ötszög átlói ugyanis éppen ilyen arányban metszik át egymást, és ezért a csillagötszögben is több helyen fordul elő aranymetszési arány, például a csillag csúcsait összekötő egyenesek középső szakasza az aranyszám szerint viszonyul a két szélső szakaszhoz. Talán éppen ez vezethette Leonardo da Vincit a felismeréshez, hogy a szép, arányos, normális emberi testben is számos helyen találkozhatunk az aranymetszési arányokkal.

Az aranyszám azonban nem csak az emberi építészetben és művészetben játszik szerepet, de a természetes képződmények is számos helyen hordozzák ezt az arányt.

Példaként említhető a Csendes óceán mélyén élő nautilus csiga háza, amelyben az egymást követő csigamenetek szélességének aránya éppen az aranyszám.

Találkozhatunk az aranymetszési arányokkal hatalmas, kozmikus léptékben is. A sok milliárd csillagból álló spirál galaxisok között több olyan található, amelyek spirálkarjai az aranyszámnak megfelelő mértékben tágulnak.

Több mint nyolc évszázaddal ezelőtt fedezte fel a zseniális olasz matematikus Leonardo Fibonacci, a róla elnevezett számsorozatot, amely szoros kapcsolatba hozható az aranyszámmal. Ebben a számsorban mindegyik szám a megelőző két szám összege. (A Fibonacci számsor klasszikus változata: 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 …. – stb. )

Ha e számsor bármelyik 5-nél nagyobb elemét elosztjuk a soron következő számmal, jó közelítéssel megkapjuk az aranyszámot, és ha előre haladunk a számsoron, az osztás annál pontosabban fogja szolgáltatni az eredményt.

Ha megfigyeljük egy napraforgó tányérját, észre vehetünk a magok elrendeződésében egy jobbra forgó és egy balra forgó spirális csoportot
(ld. fentebb). Ha azután megszámoljuk a jobbra és balra forgó karok számát, felfedezhetjük, hogy azok nem egyformák, hanem két szomszédos Fibonacci számot adnak.

Hasonló szabályszerűség mutatható ki a fenyőtobozok pikkelyein is.

Az aranymetszésből származtatható aranyszög is számos természetes logaritmikus spirális alakzatban felfedezhető.

Példaként említhető a hurrikánok műhold képein felismerhető örvénykarok elrendeződése.

Az aranyszög szerepet játszik egyes növények külső megjelenésében is. Sok növény szárain az egymás alatti levelek, rügyek, hajtások 137,5 fokkal elfordulva követik egymást, mert így árnyékolják egymást legkevésbé.

Az aranymetszés és a Fibonacci számsor azt is szemlélteti, hogy a matematika és a geometria milyen fontos szerepet tölt be a természetben, az esztétikában, sőt még a filozófiában is.

A matematika fontosságára először Püthagorasz, a „számok atyja” mutatott rá.

Tanítása szerint a számok idősebbek a testnél, ezért nélkülük lehetetlen elérni és megérteni a rendet és a szépséget, amelyek pedig meghatározóak a zenében, valamint a kozmikus, az etikai és a társadalmi világban.

Platón szerint a matematika és a geometria alapos ismerete nélkülözhetetlen a filozófus számára, ezért az iskolájának kapuja fölött ez a felirat volt olvasható: „Ide ne lépjen be senki, aki nem ismeri a geometriát!”

Milyen jó lenne, ha a mai filozófusok, esztéták, humán gondolkodók is értenének valamennyire a matematikához és a geometriához.

Talán világosabban látnák a természet működésének szabályszerűségeit, és könnyebben felismernék azokat a társadalmi, gazdasági, és műszaki problémákat, amelyek megoldását a természet törvényeinek félreértelmezése akadályozza.

2012. február